不確定性原理，又叫做測不準原理;不確定原理，外文名叫做Uncertainty principle，提出時間是在1927年，提出者是維爾納·海森堡。
歷史
1925年6月，海森堡在論文《運動與機械關係的量子理論重新詮釋》(Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations)裏表述出矩陣力學 。從此舊量子論漸趨式微，現代量子力學的時代正式開啓。矩陣力學大膽地假設，經典的運動概念不適用於量子層級，束縛在原子內部的電子並不具有明確定義的軌道，而是運動於模糊不清，無法觀察到的軌道，其對於時間的傅里葉變換隻涉及到因量子躍遷而產生的可以被觀察到的電磁輻射的離散頻率。
海森堡在論文裏提出，只有在實驗裏能夠觀察到的物理量才具有物理意義，纔可以用理論描述其物理行爲，其它都是無稽之談。因此，他刻意避開任何涉及粒子運動軌道的詳細計算，例如，粒子隨着時間而改變的確切運動位置，因爲，這運動軌道是無法直接觀察到的，替代地，他專注於研究電子躍遷時，所發射出的電磁輻射的離散頻率和強度。他計算出代表位置與動量的無限矩陣。這些矩陣能夠正確地預測電子躍遷所發射出光波的強度。
同年6月，在閱讀了海森堡的論文之後，馬克斯·玻恩發現，海森堡的數學運算原來就是他在學生時代學到的 矩陣微積分 ( 英語 ： matrix calculus ) ，另外，在分別表示位置與動量的兩個無限矩陣之間存在着一種很特別的關係──正則對易關係，以方程表示爲 ：
但是，他們並不瞭解這重要結果的意義，他們無法給予合理的詮釋。
海森堡與玻爾共同討論問題
1926年，海森堡任聘爲哥本哈根大學尼爾斯·玻爾研究所的講師，協助尼爾斯·玻爾做研究。隔年，他發表了論文《論量子理論運動學與力學的物理內涵》(On the physical content of quantum theoretical kinematics and mechanics)。在這篇論文裏，他嚴格要求遵守實證主義：只有在可以設定的實驗環境下對於粒子的某種數量做測量，則這數量才具有物理意義，否則這數量不具有任何物理意義。 他接着解釋，任何實驗測量都會遭遇誤差，因此，這數量的物理意義也只能被確定至某種程度。例如，假設使用顯微鏡來測量粒子的位置，對於粒子的位置的測量會不可避免地攪擾了粒子的動量，造成動量的不確定性。海森堡緊跟着給出他的不確定性原理：越精確地知道位置，則越不精確地知道動量，反之亦然。不確定性原理能夠直接地詮釋位置與動量的正則對易關係：假若測量位置不會攪擾動量，測量動量不會攪擾位置，則測量位置與動量不需要顧慮到先後關係，位置與動量的正則對易關係會變爲 [ x , p ] = x p − − --> p x = 0 {displaystyle [x,,p]=xp-px=0} 。
在這篇論文裏， 海森堡寫出公式
這公式給出了任何位置測量所造成的最小無法避免的動量不確定值，但是他沒有給予 Δ Δ --> x {displaystyle Delta x} 和 Δ Δ --> p {displaystyle Delta p} 確切的定義。在海森堡的芝加哥講義裏，他又進一步改善了這關係式：
1927年， 厄爾·肯納德 ( 英語 ： Earl Kennard ) 首先證明了現代不等式 ：
其中， Δ Δ --> x {displaystyle Delta x} 是位置標準差， Δ Δ --> p {displaystyle Delta p} 是動量標準差， ℏ ℏ --> {displaystyle hbar } 是約化普朗克常數。
海森堡只給出關於高斯波包案例的不等式。
1929年， 霍華德·羅伯森 ( 英語 ： Howard Robertson ) 推導出基於對易關係的不確定關係式。
三種表述
不確定性原理主要有三種表述：
順序測量不確定性原理：不可能在測量位置時完全不攪擾動量，反之亦然。
聯合測量不確定性原理：不可能對於位置與動量做 聯合測量 ( 英語 ： joint measurement ) ，即同步地測量位置與動量，只能做近似聯合測量。
製備不確定性原理：不可能製備出量子態具有明確位置與明確動量的量子系統。
很多學者主張，追根究柢，這三種表述等價，可以從其中任意一種表述推導出另一種表述，然而，在這方面的論述，並不很明確。
順序測量不確定性原理
順序測量不確定性原理表明，對於粒子位置的測量不可避免地攪擾了粒子的動量(這結論可以從海森堡顯微鏡實驗獲得)，以方程表示，
其中， Δ Δ --> x m e a s u r e {displaystyle Delta x_{measure}} 是測量位置所出現的誤差， Δ Δ --> p p e r t u r b {displaystyle Delta p_{perturb}} 是動量被測量位置的動作所攪擾纔出現的誤差。
反之亦然，對於粒子動量的測量不可避免地攪擾了粒子的位置(這結論可以從 多普勒速率表實驗 ( 英語 ： Doppler speed meter experiment ) 獲得)，以方程表示，
其中， Δ Δ --> p m e a s u r e {displaystyle Delta p_{measure}} 是測量動量所出現的誤差， Δ Δ --> x p e r t u r b {displaystyle Delta x_{perturb}} 是位置被測量動量的動作所攪擾纔出現的誤差。
順序測量不確定性原理時常會被曲解，有些人認爲，由於測量儀器有技術瑕疵，纔會得到與不確定性原理相符合的結果，假若能夠使用更精良的儀器，應該可以獲得違背不確定性原理的結果。但這想法並不正確，當初海森堡表述不確定性原理時，他設計的海森堡顯微鏡實驗是一種思想實驗，其所使用的是假想最精良的儀器，在假想最理想的環境裏工作，因此，對於在微觀世界裏的測量動作，由不確定性原理所規定的基於普朗克常數的限制是無法突破的。
任何科學理論都必須通過嚴格實驗驗證，否則只能視爲僞科學。海森堡並沒有對於不確定性原理給出任何實驗驗證。由於嚴格實驗驗證需要非常精良的儀器，直到近期，纔有實驗達成測試不確定性原理的目標。
海森堡顯微鏡實驗
海森堡假想測量電子(藍點)位置的伽馬射線顯微鏡。波長爲 λ λ --> {displaystyle lambda } 的偵測伽馬射線(以綠色表示)，被電子散射後，進入孔徑角爲 2 θ θ --> {displaystyle 2heta } 的顯微鏡的透鏡，其直徑爲 D {displaystyle D} 。散射後的伽馬射線以紅色表示。
海森堡主張，只有在可以設定的實驗環境下對於粒子的位置做測量，則位置才具有物理意義，否則位置不具有任何物理意義。爲了展示怎樣測量位置以及會產生什麼樣的後續狀況，海森堡設計出伽馬射線顯微鏡思想實驗 。在這實驗裏，一束光線被照射於一個電子，然後用顯微鏡的透鏡來蒐集被電子散射的光線，從而獲得電子的位置數據。光線的波長越短，可以越準確地測量電子位置，但是，光線的動量也會變大，而且會因爲被散射而傳輸動量給電子，其數量無法被確定。波長越長的光線，動量越小，電子的動量不會因爲散射而大大地改變。可是，電子的位置也只能大約地被測知。根據經典光學理論，透鏡的 分辨本領 ( 英語 ： resolving power ) 爲
其中， Δ Δ --> x {displaystyle Delta x} 是電子位置的不確定性， λ λ --> {displaystyle lambda } 是光線的波長， θ θ --> {displaystyle heta } 是孔徑角。
假設光線被散射進入顯微鏡的透鏡，則它的軌跡與透鏡的光軸兩者之間的夾角角弧必小於 θ θ --> {displaystyle heta } ，它的動量大約與原本動量 p {displaystyle p} 相同 ，垂直於光軸的動量分量必小於 p sin --> ( θ θ --> ) {displaystyle psin(heta )} ，由於不知道軌跡與光軸的夾角角弧，因此無法計算出 Δ Δ --> p x {displaystyle Delta p_{x}} 的確切數值。按照動量守恆定律，光線所失去的動量是電子所增添的動量，所以電子動量因被光線散射而產生的不確定性 Δ Δ --> p x {displaystyle Delta p_{x}} 約爲
綜合上述兩個方程，可得到與孔徑角無關的公式
這公式是從兩個經典理論求得，完全沒有用到任何量子理論。在經典力學裏，若要減小乘積 Δ Δ --> x Δ Δ --> p x {displaystyle Delta xDelta p_{x}} ，有兩種方法，一是使用波長越短的光線越好，這意味着使用伽馬射線，二是減低輻照度，因爲電磁輻射的動量與輻照度成正比。若能促使波長越短，輻照度越低，則乘積 Δ Δ --> x Δ Δ --> p x {displaystyle Delta xDelta p_{x}} 就會變得越小，沒有任何基礎限制對於不確定性乘積給出約束。然而，在量子力學裏，當輻照度降低到某種程度時，必須要將光的顆粒性納入考量，必須思考一個光子與一個電子相遇時所發生的康普頓散射，根據德布羅意假說，
將這公式帶入乘積 Δ Δ --> x Δ Δ --> p x {displaystyle Delta xDelta p_{x}} 的公式，可以得到海森堡的不確定性關係式
在這實驗裏，被測量的物理量是位置， Δ Δ --> x {displaystyle Delta x} 是測量誤差 Δ Δ --> x m e a s u r e {displaystyle Delta x_{measure}} ，而被攪擾的物理量是動量， Δ Δ --> p x {displaystyle Delta p_{x}} 是攪擾誤差 Δ Δ --> p p e r t u r b {displaystyle Delta p_{perturb}} ，因此，
在經典力學裏，在測量物體時，攪擾可以被消減得越小越好，但在量子力學裏，對於這攪擾存在着一個基礎限制，並且，這攪擾無法被控制、無法被預測、無法被修正。海森堡顯微鏡實驗創新地給出這限制 。
至此，海森堡的論述仍舊不完整，他尚未解釋怎樣獲知粒子的動量。假若能測量到粒子的動量，才能給予粒子的動量實際意義，否則，粒子的動量不具意義，“粒子的動量被攪擾”這句話也不具意義。更多內容，請查閱條目海森堡顯微鏡實驗。
單狹縫衍射
單狹縫實驗示意圖。
粒子的波粒二象性的概念可以用來解釋位置不確定性和動量不確定性的關係。自由粒子的波函數爲平面波。假設，這平面波入射於刻有一條狹縫的不透明擋板，平面波會從狹縫衍射出去，在檔牆後面的偵測屏，顯示出干涉圖樣。根據單狹縫衍射公式，從中央極大值位置(最大波強度之點)到第一個零點(零波強度之點)的夾角 θ θ --> {displaystyle heta } 爲
其中， λ λ --> {displaystyle lambda } 是平面波的波長， w {displaystyle w} 是狹縫寬度。
給定平面波的波長，狹縫越窄，衍射現象越寬闊， θ θ --> {displaystyle heta } 越大;狹縫越寬，衍射現象越窄縮， θ θ --> {displaystyle heta } 越小。
當粒子穿過狹縫之前，在粒子前進的方向(x方向)的動量爲 p {displaystyle p} ，在y方向的動量 p y {displaystyle p_{y}} 是零。穿過狹縫時，粒子的動量遭遇攪擾。 p y {displaystyle p_{y}} 的不確定性 Δ Δ --> p y {displaystyle Delta p_{y}} 大約是
當粒子穿過狹縫時，粒子的位置不確定性 Δ Δ --> y {displaystyle Delta y} 是狹縫寬度： Δ Δ --> y ≈ ≈ --> w {displaystyle Delta yapprox w} 。
所以，位置不確定性與動量不確定性的乘積大約爲
從德布羅意假說，
所以，位置不確定性與動量不確定性遵守近似式
在這實驗裏，被測量的物理量是位置， Δ Δ --> y {displaystyle Delta y} 是測量誤差 Δ Δ --> y m e a s u r e {displaystyle Delta y_{measure}} ，而被攪擾的物理量是動量， Δ Δ --> p y {displaystyle Delta p_{y}} 是攪擾誤差 Δ Δ --> p p e r t u r b {displaystyle Delta p_{perturb}} ，因此，
聯合測量不確定性原理
聯合不確定性原理表明，不可能對於位置與動量做 聯合測量 ( 英語 ： joint measurement ) ，即同步地測量位置與動量，只能做出近似聯合測量，其誤差遵守不等式
其中， Δ Δ --> x {displaystyle Delta {x}} 與 Δ Δ --> p {displaystyle Delta {p}} 分別爲位置與動量的測量誤差。
假設一個量子系統的兩個可觀察量A、B是另外一個可觀察量C的函數，即A=f(C)與B=g(C)，則稱可觀察量A、B可以被“聯合測量”(又稱爲同步測量)。 假若兩種可觀察量的對易算符不等於0，即它們不相互對易，則稱它們爲“不相容可觀察量”。聯合測量兩個不相容可觀察量是不可行的。
在經典力學裏，可以同步測量宏觀物體的位置與動量，但是，量子力學的標準形式論不准許聯合測量粒子的位置與動量，這是因爲標準形式論的可觀察量不具備這種功能。近期，物理學者將標準形式論加以延伸，提出 正值算符測度 ( 英語 ： positive-operator valued measure ) 的理論，正值算符測度可以用來表述聯合測量。但是，在這裏每一種測量都必須是 模糊測量 ( 英語 ： unsharp measurement ) ，換句話說，聯合準確測量(同步準確測量)粒子的位置與動量是不可行的，因爲粒子的位置與動量是不相容可觀察量。
製備不確定性原理
製備不確定性原理指出，不可能製備出量子態具有任意明確位置與任意明確動量的量子系統，換句話說，所有制備出的量子系統，其量子態的位置與動量必須遵守不等式
其中， σ σ --> x {displaystyle sigma _{x}} 與 σ σ --> p {displaystyle sigma _{p}} 分別爲位置與動量的標準差， ℏ ℏ --> {displaystyle hbar } 是約化普朗克常數。
從製備量子系統的角度來看，設想一個量子系統被複製成很多份，每一份系統都是用同樣方法制備而成，那麼，它們都具有同樣的量子態，總稱它們爲一個系綜，因此，量子態代表一個系綜的同樣方法制備出來的量子系統。現在對每一份系統測量任意可觀察量A，一般而言，這些測量會得到不同的結果，它們形成了一種概率分佈。從量子態計算出來的可觀察量A的理論概率分佈，在複製數量趨於無窮大的極限，會與測量實驗所獲得可觀察量A概率分佈完全一致。
量子系統的物理行爲可以用波函數來描述，波函數的絕對值平方是量子系統的概率分佈。概率分佈的寬度或擴展可以用標準差或某種測度來量度。波函數也可以用來計算出位置或動量的概率分佈，從而獲得以位置與動量的標準差來表達的不確定性關係式。這關係式表達出符合量子力學對於製備量子系統所設定的限制，是製備不確定性原理的表達式。 由同樣方法制備而成的多個量子系統，它們會具有的某些類似的性質，但也會具有某些不同的性質，它們所具有的性質不可能每一種都相同。"
平面波波包德布羅意波的1維傳播，復值波幅的實部以藍色表示、虛部以綠色表示。在某位置找到粒子的概率(以顏色的不透明度表示)呈波形狀延展。
在波動力學裏，波函數描述粒子的量子行爲。在任意位置，波函數的絕對值平方是粒子處於那位置的概率;概率越高，則粒子越常處於那位置。動量則與波函數的波數有關。
根據德布羅意假說，物質具有波動性質，會展示出像物質波一般的物理性質，因此，粒子的位置可以用波函數 Ψ Ψ --> ( x , t ) {displaystyle Psi (x,t)} 來描述。假設這波函數的空間部分 ψ ψ --> ( x ) {displaystyle psi (x)} 是單色平面波，以方程表示
其中， k 0 {displaystyle k_{0}} 是波數， p 0 {displaystyle p_{0}} 是動量。
玻恩定則表明，波函數可以用來計算概率，在位置 a {displaystyle a} 與 b {displaystyle b} 之間找到粒子的概率 P {displaystyle P} 爲
對於單色平面波案例， | ψ ψ --> ( x ) | 2 {displaystyle |psi (x)|^{2}} 是均勻分佈，這粒子的位置極端不確定，因爲，它在 a {displaystyle a} 與 b {displaystyle b} 之間任意位置的概率都一樣。
如右圖所示，思考一個由很多正弦波疊加形成的波函數：
其中， A n {displaystyle A_{n}} 是 p n {displaystyle p_{n}} 模的振幅。
取連續性極限，波函數是所有可能模的積分：
其中， ϕ ϕ --> ( p ) {displaystyle phi (p)} 是模的振幅，稱爲動量空間的波函數。
以數學術語表達， ψ ψ --> ( x ) {displaystyle psi (x)} 的傅里葉變換是 ϕ ϕ --> ( p ) {displaystyle phi (p)} ，位置 x {displaystyle x} 與動量 p {displaystyle p} 是共軛物理量。將這些平面波疊加在一起的副作用是動量的不確定性變大， ψ ψ --> ( x ) {displaystyle psi (x)} 是很多不同動量的平面波組成的混合波。標準差 σ σ --> {displaystyle sigma } 定量地描述位置與動量的不確定性。粒子位置的概率密度函數 | ψ ψ --> ( x ) | 2 {displaystyle |psi (x)|^{2}} 可以用來計算標準差。使用更多平面波，可以減低位置的不確定性，即減低 σ σ --> x {displaystyle sigma _{x}} ，但也因此增加動量的不確定性，即增加 σ σ --> p {displaystyle sigma _{p}} 。這就是不確定性原理。
