隱沒天才
1823年當阿貝爾的第一篇論文發表後，他的朋友便力請挪威政府資助他到德國及法國進修。當等待政府回覆時，在1824年他發表了他的《一元五次方程沒有代數一般解》的論文，渴望爲他帶來肯定地位。他把論文寄了給當時有名的數學家高斯，可惜高斯錯過了這篇論文，也不知道這個著名的代數難題已被解破。
1825-26年的冬季，他遠赴柏林，並認識了克列爾(Crelle)。克列爾是個土木工程師，而且對數學很有熱誠，他跟阿貝爾成爲很要好的朋友。1826年，在阿貝爾的鼓勵下，克列爾創立了一份純數學和應用數學雜誌(Journal für die reine und angewandte Mathematik)，該雜誌的第一期便刊登了阿貝爾在五次方程的工作成果，另外還有方程理論、泛函方程及理論力學等的論文。在柏林，新的數學嚮導使他繼續獨立地進行研究工作，後來阿貝爾更到了歐洲不同的地方。
1826年夏天，他在巴黎造訪了當時最頂尖的數學家，並且完成了一份有關超越函數的研究報告。這些工作展示出一個代數函數理論，現稱爲阿貝爾定理，而這定理也是後期阿貝爾積分及阿貝爾函數的理論基礎。他在巴黎被冷落對待，他曾經把他的研究報告寄去科學學院，望可得到好評，但他的努力也是徒然。他在離開巴黎前染頑疾，最初只以爲只是感冒，後來才知道是肺結核病。
他輾轉回到挪威，但欠下不少錢債。他只好靠教書及收取大學的微薄津貼爲生。在1828年，他找到一份代課教師之職來維持生計。但他的窮困及病況並沒有減低他對數學的熱誠，他在這段期間寫了大量的論文，主要是方程理論及橢圓函數，也就是有關阿貝爾方程和阿貝爾羣的理論。他比雅可比(Jacobi)更快完全了橢圓函數的理論。此時，阿貝爾的名聲經已響遍所有的數學中心，各方面的人也希望爲他找到一個適當的教授席位，當中克列爾便希望爲他在柏林找得一個教授席位。
在1828年冬天，阿貝爾的病逐漸嚴重起來。在他聖誕節去芬羅蘭(Froland)探他的未婚妻克萊利·肯姆普(Crelly Kemp)期間，病情便更惡化。到1829年1月時，他已知自己壽命不長，出血的症狀已無法否認。直至1829年4月6日凌晨，阿貝爾去世了，他的未婚妻堅持不要他人之助照顧阿貝爾，“單獨佔有這最後的時刻”。
阿貝爾去世後，他的老師霍爾姆伯於1839年爲他出版了文集。
遲到榮譽
直到阿貝爾去世前不久，人們才認識到他的價值。1828年，四名法國科學院院士上書給挪威國王，請他爲阿貝爾提供合適的科學研究位置，勒讓德也在科學院會議上對阿貝爾大加稱讚。在阿貝爾死後兩天，克列爾寫信說爲阿貝爾成功爭取於柏林大學(Freie Universität Berlin)當數學教授，可惜已經太遲，一代天才數學家已經在收到這消息前去世了。此後榮譽和褒獎接踵而來，1830年他和卡爾·雅可比共同獲得法國科學院大獎。
阿貝爾在數學方面的成就是多方面的。除了五次方程之外，他還研究了更廣的一類代數方程，後人發現這是具有交換的伽羅瓦羣的方程。爲了紀念他，後人稱交換羣爲阿貝爾羣。阿貝爾還研究過無窮級數，得到了一些判別準則以及關於冪級數求和的定理。這些工作使他成爲分析學嚴格化的推動者。
阿貝爾和雅可比是公認的橢圓函數論的奠基者。阿貝爾發現了橢圓函數的加法定理、雙週期性、並引進了橢圓積分的反演。他研究了形如的積分(現稱阿貝爾積分)， 其中R(x，y)是x和y的有理函數，且存在二元多項式ƒ，使ƒ(x，y)=0。他還證明了關於上述積分之和的定理，現稱阿貝爾定理，它斷言：若干個這種積分之和可以用g個這種積分之和加上一些代數的與對數的項表示出來，其中g只依賴於ƒ，就是ƒ的虧格。阿貝爾這一系列工作爲橢圓函數論的研究開拓了道路，並深刻地影響着其他數學分支。埃爾米特曾說：阿貝爾留下的思想可供數學家們工作150年。
科學院祕書傅立葉讀了論文的引言，然後委託勒讓得和柯西負責審查。柯西把稿件帶回家中，究竟放在什麼地方，竟記不起來了。直到兩年以後阿貝爾已經去世，失蹤的論文原稿才重新找到，而論文的正式發表，則遷延了12年之久。
