主要貢獻
拉格朗日在數學、力學和天文學三個學科中都有重大歷史性貢獻，但他主要是數學家，研究力學和天文學的目的是表明數學分析的威力。全部著作、論文、學術報告記錄、學術通訊超過500篇。
拉格朗日的學術生涯主要在18世紀後半期。當對數學、物理學和天文學是自然科學主體。數學的主流是由微積分發展起來的數學分析，以歐洲大陸爲中心;物理學的主流是力學;天文學的主流是天體力學。數學分析的發展使力學和天體力學深化，而力學和天體力學的課題又成爲數學分析發展的動力。當時的自然科學代表人物都在此三個學科做出了歷史性重大貢獻。下面就拉格朗日的主要貢獻分別評述。
數學
數學分析的開拓者
牛頓和萊布尼茲以後的歐洲數學分裂爲兩派。英國仍堅持牛頓在《自然哲學中的數學原理》中的幾何方法，進展緩慢;歐洲大陸則按萊布尼茲創立的分析方法(當時包括代數方法)，進展很快，當時叫分析學(analysis)。拉格朗日是僅次於歐拉的最大開拓者，在18世紀創立的主要分支中都有開拓性貢獻。
變分法
這是拉格朗日最早研究的領域，以歐拉的思路和結果爲依據，但從純分析方法出發，得到更完善的結果。他的第一篇論文“極大和極小的方法研究”(Recherches sur la méthode demaximis et minimies)[2]是他研究變分法的序幕; 1760年發表的“關於確定不定積分式的極大極小的一種新方法”(Essai d'unenouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima desformules integrales indéfinies)[3]是用分析方法建立變分法的代表作。發表前寫信給歐拉時，稱此文中的方法爲“變分方法”(themethod of variation)。歐拉肯定了，並在他自己的論文中正式將此方法命名爲“變分法”(the calculus of variation)。變分法這個分支才真正建立起來。
拉格朗日方法是對積分進行極值化，函數y=y(x)待定。他不像歐拉和前人用改變極大或極小化曲線的個別座標的辦法，而是引進通過端點(x1，y1)，(x2，y2)的新曲線y(x)+δy(x)，δy(x)叫曲線y(x)的變分。J相應的增量△J按δy，δy′展開的一、二階項叫一次變分δJ和二次變分δ2J。他用分析方法證明了δJ爲零的必要條件就是歐拉方程
他達繼續討論了端點變動時的情況以及兩個自變量的重積分的情況，使這個分支繼續發展。1770年以後，拉格朗日達研究了被積函數f包含高階導數的單重和多重積分時的情況，已發展成爲變分法的標準內容。
微分方程
早在都靈時期，拉格朗日就對變係數常微分方程研究做出重大成果。他在降階過程中提出了以後所稱的伴隨方程，並證明了非齊次線性變係數方程的伴隨方程的伴隨方程，就是原方程的齊次方程。他還把歐拉關於常係數齊次方程的結果推廣到變係數情況，證明了變係數齊次方程的通解可用一些獨立特解乘上任意常數相加而成;而且在知道方程的m個特解後，可以把方程降低m價。
在柏林時期，他對常微分方程的奇解和特解做出歷史性貢獻，在1774年完成的“關於微分方程特解的研究”(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)[22]中系統地研究了奇解和通解的關係，明確提出由通解及其對積分常數的偏導數消去常數求出奇解的方法;還指出奇解爲原方程積分曲線族的包絡線。當然，他的奇解理論還不完善，現代奇解理論的形式是由G.達布(Darboux)等人完成的。
常微分方程組的研究在當時結合天體力學中的課題進行。拉格朗日在1772年完成的“論三體問題”(Essai sur le problémedes trois corps)中，找出了三體運動的常微分方程組的五個特解：三個是三體共線情況;兩個是三體保持等邊三角形;在天體力學中稱爲拉格朗日平動解。他同拉普拉斯一起完善的任意常數變異法，對多體問題方程組的近似解有重大作用，促進了攝動理論的建立。
拉格朗日是一階偏微分方程理論的建立者，他在1772年完成的。“關於一階偏微分方程的積分”(Sur l'integration des équationau differences partielles du premier order)和1785年完成的“一階線性偏微分方程的一般積分方法”(Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires)中，系統地完成了一階偏微分方程的理論和解法。
他首先提出了一階非線性偏微分方程的解分類爲完全解、奇解、通積分等，並給出它們之間的關係。後來又進一步證明了解線性方程Pp+Qq=R(P，Q，R爲x，y，z的函數)(5)與解等價，而解(6)式又與解常微分方程組等價。(5)式至今仍稱爲拉格朗日方程。有趣的是，由上面已可看出，一階非線性偏微分方程，可以化爲解常微分方程組。但拉格朗日自己卻不明確，他在1785年解一個特殊的一階偏微分方程時，還說不能用這種方法，可能他忘記了自己在1772年的結果。現代也有時稱此方法爲拉格朗日方法，又稱爲柯西(Cauchy)的特徵方法。因拉格朗日只討論兩個自變量情況，在推廣到n個自變量時遇到困難，而後來由柯西在1819年克服。
方程論
18世紀的代數學從屬於分析，方程論是其中的活躍領域。拉格朗日在柏林的前十年，大量時間花在代數方程和超越方程的解法上。
他在代數方程解法中有歷史性貢獻。在長篇論文“關於方程的代數解法的思考”(Réflexions sur le resolution algébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp 205—421)中，把前人解三、四次代數方程的各種解法，總結爲一套標準方法，而且還分析出一般三、四次方程能用代數方法解出的原因。三次方程有一個二次輔助方程，其解爲三次方程根的函數，在根的置換下只有兩個值;四次方程的輔助方程的解則在根的置換下只有三個不同值，因而輔助方程爲三次方程。拉格朗日稱輔助方程的解爲原方程根的預解函數(是有理函數)。他繼續尋找5次方程的預解函數，希望這個函數是低於5次的方程的解，但沒有成功。儘管如此，拉格朗日的想法已蘊含着置換羣概念，而且使預解(有理)函數值不變的置換構成子羣，子羣的階是原置換羣階的因子。因而拉格朗日是羣論的先驅。他的思想爲後來的N.H.阿貝爾(Abel)和E.伽羅瓦(Galois)採用並發展，終於解決了高於四次的一般方程爲何不能用代數方法求解的問題。
拉格朗日在1770年還提出一種超越方程的級數解法。設p爲方程，這就是後來在天體力學中常用的拉格朗日級數。他自己沒有討論收斂性，後來由柯西求出此級數的收斂範圍。
數論
拉格朗日到柏林初期就開始研究數論，第一篇論文“二階不定問題的解”(Sur la solution des problémès in détèrminésdu seconde degrés)[14]和送交都靈《論叢》的“一個算術問題的解”(Solution d'un problème d'arithmetique)[15]中，討論了歐拉多年從事的費馬(Fermat)方程x2-Ay2=1(x，y，A爲整數)，(9)
不定問題解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmes indéteminés en nombres entiers)[16]中得到更一般的費馬方程 (B也爲整數)(10)的解。還討論了更廣泛的二元二次整係數方程 ，(11)並解決了整數解問題。
拉格朗日還在1772年的“一個算術定理的證明”(De monstration d'un théorème d'arthmétique，《文集》Ⅲ，pp.189—201)中，把歐拉40多年沒有解決的費馬另一猜想“一個正整數能表示爲最多四個平方數的和”證明出來。在1773年發表的“質數的一個新定理的證明”(Démonstation d'un theorem nouveau concernant les nombres premiers)中，證明了著名的定理：n是質數的充要條件爲(n-1)!+1能被n整除。
拉格朗日不僅有大量成果，還在方法上有創新。如在證明(9)式研究”(Recherches d'arithmétiques，《文集》Ⅲ，pp.695—795)中，研究(11)式解時採用的方法和結果，是二次型理論的基本文獻。
函數和無窮級數
同18世紀的其他數學家一樣，拉格朗日也認爲函數可以展開爲無窮級數，而無窮級數則是多項式的推廣。他還試圖用代數建立微積分的基礎。在他的《解析函數論……》(《文集》Ⅸ)中，書名上加的小標題“含有微分學的主要定理，不用無窮小，或正在消失的量，或極限與流數等概念，而歸結爲代數分析藝術”，表明了他的觀點。由於迴避了極限和級數收斂性問題，當然就不可能建立真正的級數理論和函數論，但是他們的一些處理方法和結果仍然有用，他們的觀點也在發展。
拉格朗日就在《解析函數論……》中，第一次得到微分中值定理(書中第六章)f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)後面並用它推導出泰勒(Taylor)級數，還給出餘項Rn的具體表達式(第二十章)Rn就是著名的拉格朗日餘項形式。他還着重指出，泰勒級數不考慮餘項是不能用的。雖然他還沒有考慮收斂性，甚至各階導數的存在性，但他強調Rn要趨於零。表明他已注意到收斂問題。
他同歐拉、達朗貝爾等在任意函數能否表爲三角級數的長期爭論，雖未解決，但爲以後三角級數理論的建立打下了基礎。
拉格朗日內插公式
最後要提一下他在《師範學校數學基礎教程》中，提出了著名的拉格朗日內插公式。
直到現在計算機計算大量中點內插時仍在使用。另外在求多元函數相對極大極小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用。
其他
除了對數學分析在18世紀建立的主要分支有開拓性貢獻外，他對嚴格化問題也開始注意。儘管迴避了極限概念，但他仍承認可以在極限基礎上建立微積分(《文集》Ⅰ，p.325)。但正是對嚴格化重視不夠，所建立的分支到一定階段就很難深入。這可能是他晚年研究工作少的原因。他在1781年9月21日給達朗貝爾的信中說：“在我看來，似乎(數學)礦井已挖掘很深了，除非發現新礦脈，否則勢必放棄它……”(《文集》XⅢ368)這說出了他和其他同事們的心情。事實表明，19世紀在建立數學分析嚴格基礎後，數學更迅速地發展。
分析力學
分析力學的創立者
他在所著《分析力學》(1788)中，吸收並發展了歐拉、達朗貝爾等人的研究成果，應用數學分析解決質點和質點系(包括剛體、流體)的力學問題。他在總結靜力學的各種原理，包括他1764年建立的虛速度原理的基礎上提出分析靜力學的一般原理，即虛功原理，並同達朗伯原理結合而得到動力學普遍方程。對於有約束的力學系統，他採用適當的變換，引入廣義座標，得到一般的運動方程，即第一類和第二類拉格朗日方程。全書用數學分析形式寫成，沒有一幅圖，故名《分析力學》。書中還給出多自由度系統平衡位置附近微振動的基本理論，但對振動特徵方程有重根情況說得不確切，這個錯誤直到19世紀中葉才分別由K.維爾斯特拉斯(1858)和O.H.索莫夫(1859)作了改正。拉格朗日繼歐拉之後研究過理想流體運動方程，並最先提出速度勢和流函數的慨念，成爲流體無旋運動理論的基礎。他在《分析力學》中從動力學普遍方程導出的流體運動方程，着眼於流體質點，描述每個流體質點自始至終的運動過程。這種方法現在稱爲拉格朗日方法，以區別着眼於空間點的歐拉方法，但實際上這種方法歐拉也應用過。拉格朗日研究過重剛體定點轉動並對剛體的慣性橢球是旋轉橢球且重心在對稱軸上的情況作過詳細的分析。這種情況稱爲重剛體的拉格朗日情況。這一研究在他生前未發表，後經J.比奈整理，收在《分折力學》第二版(1818)的附錄中。在此以前，泊松在1811年曾獨立得到同樣的結果。拉格朗日在1811年還導得彈性薄板的平衡方程。
天體力學
天體力學的奠基者
天體力學是在牛頓發表萬有引力定律(1687)時誕生的，很快成爲天文學的主流。它的學科內容和基本理論是在18世紀後期建立的。主要奠基者爲歐拉，A.C.克萊羅(Clairaut)、達朗貝爾、拉格朗日和拉普拉斯。最後由拉普拉斯集大成而正式建立經典天體力學。拉格朗日一生的研究工作中，約有一半同天體力學有關，但他主要是數學家，他要把力學作爲數學分析的一個分支，而又把天體力學作爲力學的一個分支對待。雖然如此，他在天體力學的奠基過程中，仍有重大歷史性貢獻。
首先在建立天體運動方程上，拉格朗日用他在分析力學中的原理和(16)，(17)式，建立起各類天體的運動方程。其中特別是根據他在微分方程解法的任意常數變異法，建立了以天體橢圓軌道根數爲基本變量的運動方程，仍稱作拉格朗日行星運動方程，並在廣泛應用，此方程對攝動理論的建立和完善起了重大作用，方程在1780年獲巴黎科學院獎的論文“彗星在行星作用下的攝動理論研究”(Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l'action des planètes)中給出，得到達朗貝爾和拉普拉斯的高度評價。另外在一篇有關三體問題的獲獎文章中，把三體問題的運動方程組第一次降到七階。
在天體運動方程解法中，拉格朗日的重大歷史性貢獻是發現三體問題運動方程的五個特解，即拉格朗日平動解。其中兩個解是三體圍繞質量中心作橢圓運動過程中，永遠保持等邊三角形。他的這個理論結果在100多年後得到證實。1907年2月22日，德國海德堡天文臺發現了一顆小行星[後來命名爲希臘神話中的大力士阿基里斯(Achilles)，編號588]，它的位置正好與太陽和木星形成等邊三角形。到1970年前，已發現15顆這樣的小行星，都以希臘神話中特洛伊(Troy)戰爭中將帥們的名字命名。有9 顆位於木星軌道上前面60°處的拉格朗日特解附近，名爲希臘人(Greek)羣;有6顆位於木星軌道上後面60°處的解附近，名爲脫羅央(Trojan)羣。1970年以後又繼續發現40多顆小行星位於此兩羣內，其中我國紫金山天文臺發現四顆，但尚未命名。至於爲什麼在特解附近仍有小行星，是因爲這兩個特解是穩定的。1961年又在月球軌道前後發現與地月組成等邊三角形解處聚集的流星物質，是拉格朗日特解的又一證明。至今尚未找到肯定在三個拉格朗日共線羣(三體共線情況)處附近的天體，因爲這三個特解不穩定。另外，拉格朗日在一階攝動理論中也有重要貢獻，提出了計算長期攝動方法(《文集》Ⅴ，pp.125—414)，並與拉普拉斯一起提出了在一階攝動下的太陽系穩定性定理(參見《世界著名科學家傳記·天文學家Ⅰ》中“拉普拉斯”條)。此外，拉格朗日級數(8)式在攝動理論中有廣泛應用。
在具體天體的運動研究中，拉格朗日也有大量重要貢獻，其中大部分是參加巴黎科學院徵獎的課題。他的月球運動理論研究論文多次獲獎。1763年完成的“月球天平動研究”(Recherches sur laLibration de la lune)獲1764年度獎，此文較好地解釋了月球自轉和公轉的角速度差異，但對月球赤道和軌道面的轉動規律解釋得不夠好。後來在1780年完成的論文解決得更好(參見《文集》Ⅴ，pp.5—123)。獲1772年度獎的就是著名的三體問題論文，也是針對月球運動研究寫出的。獲1774年度獎的論文爲“關於月球運動的長期差”(Sur l’equation séculaire de la lune)，其中第一次討論了地球形狀和所有大行星對月球的攝動。關於行星和彗星運動的論文也有兩次獲獎。1776年度獲獎的是他在1775年完成的三篇論文其中討論了行星軌道交點和傾角的長期變化對彗星運動的影響。1780年度的獲獎論文就是提出著名的拉格朗日行星運動方程的那篇。獲1766年度獎的論文是“木星的衛星運動的偏差研究……”(Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…)，其中第一次討論了太陽引力對木星的四個衛星運動的影響，結果比達朗貝爾的更好。
拉格朗日從事的天體力學課題還有很多，如在柏林時期的前半部分，還研究了用三個時刻的觀測資料計算彗星軌道的方法(《文集》Ⅳ，pp.439—532)，所得結果成爲軌道計算的基礎。另外他還得到了一種力學模型——兩個不動中心問題的解，這是歐拉已討論過的，又稱爲歐拉問題。是拉格朗日推廣到存在離心力的情況，故後來又稱爲拉格朗日問題(《文集》Ⅱ，pp.67—121)。這些模型仍在應用。有人用作人造衛星運動的近似力學模型。此外，他在《分析力學》中給出的流體靜力學的結果，後來成爲討論天體形狀理論的基礎。
總的看來，拉格朗日在天體力學的五個奠基者中，所做的歷史性貢獻僅次於拉普拉斯。他創立的“分析力學”對以後天體力學的發展有深遠的影響。
