矩陣力學，外文名matrix mechanics，是量子力學其中一種的表述形式，提出者是海森堡、玻恩、約爾丹，時間1925年。
凡是矩陣力學，皆可建於以下的假定：
所有的物理量，均以厄米矩陣表之。一個物理系統的哈密頓函數 H {displaystyle mathbf {H} ,} 是廣義座標矩陣 Q {displaystyle mathbf {Q} ,} 及其共軛動量矩陣 P {displaystyle mathbf {P} ,} 的函數。
一個物理量 F {displaystyle mathbf {F} ,} 的觀察值，是該矩陣的本徵值 f n 1 n 2 {displaystyle f_{{n_{1}}{n_{2}}},} 。而能量 E n 1 n 2 {displaystyle E_{{n_{1}}{n_{2}}},} 是哈密頓函數 H {displaystyle mathbf {H} ,} 的本徵值。
一個物理系統的廣義座標矩陣及其共軛動量矩陣滿足以下的對易關係，亦稱爲 強量子條件 ： P Q − − --> Q P = ℏ ℏ --> i I {displaystyle mathbf {PQ} -mathbf {QP} ={hbar over i}mathbf {I} ,} I {displaystyle mathbf {I} ,} 爲單位矩陣。
一個物理系統(如原子)的頻率 ν ν --> n 1 n 2 {displaystyle u _{{n_{1}}{n_{2}}},} ，由頻率條件定之：
h ν ν --> n 1 n 2 = E n 1 n 1 − − --> E n 2 n 2 {displaystyle hu _{{n_{1}}{n_{2}}}=E_{{n_{1}}{n_{1}}}-E_{{n_{2}}{n_{2}}},}
對易關係的思想來源
h ν ν --> n 1 n 2 = E n 1 n 1 − − --> E n 2 n 2 {displaystyle hu _{{n_{1}}{n_{2}}}=E_{{n_{1}}{n_{1}}}-E_{{n_{2}}{n_{2}}},} 這個條件是由玻爾的頻率條件直接得來;但對易關係是如何引進的呢?如何得知新的力學形式是用矩陣去表達的呢? 其實海森堡的思想來源是先來自週期系統的解;週期系統的解全都可用傅里葉級數去展示：
q n ( t ) = ∑ ∑ --> n = 0 ∞ ∞ --> ( a n cos --> ( 2 π π --> n ν ν --> t ) + b n sin --> ( 2 π π --> n ν ν --> t ) ) = ∑ ∑ --> − − --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> q n e 2 π π --> i n ν ν --> t {displaystyle q_{n}(t)=sum _{n=0}^{infty }(a_{n}cos(2pi nu t)+b_{n}sin(2pi nu t))=sum _{-infty }^{infty }q_{n}e^{2pi inu t}}
在此的 q n = 1 2 ( a n − − --> i b n ) {displaystyle q_{n}={ rac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),} , q − − --> n = q n ∗ ∗ --> {displaystyle q_{-n}=q_{n}^{*},} 。 傅里葉級數有一個特點，就是對它進行運算，例如相加、相乘或微分，都不會產生 n ν ν --> , n = 1 , 2 , ⋯ ⋯ --> {displaystyle nu ,quad n=1,2,cdots ,} 以外的新頻率系列。 但原子系統的頻率是不能用傅里葉級數去表示，而是有一個叫里茲組合原則的經驗關係：
ν ν --> n 1 n 2 = ν ν --> n 1 n 3 + ν ν --> n 3 n 2 {displaystyle u _{{n_{1}}{n_{2}}}=u _{{n_{1}}{n_{3}}}+u _{{n_{3}}{n_{2}}},}
如果頻率能表示爲經驗項之差(如氫原子的裏德伯公式)：
ν ν --> n 1 n 2 = T n 1 − − --> T n 2 {displaystyle u _{{n_{1}}{n_{2}}}=T_{n_{1}}-T_{n_{2}},}
里茲組合原則即可滿足，而在這裏原子系統形成一個“二維”的系統;對於頻率的“二維”本性，海森堡用“二維”的廣義座標
q n 1 n 2 o e 2 π π --> i ν ν --> n 1 n 2 t {displaystyle q_{{n_{1}}{n_{2}}}^{o}e^{2pi iu _{{n_{1}}{n_{2}}}t},}
去取代傅里葉分量 q n e 2 π π --> i n ν ν --> t {displaystyle q_{n}e^{2pi inu t},} 。而爲了模擬傅里葉級數，要求“二維”數集有以下關係：
q n 1 n 2 o = q n 1 n 2 o ∗ ∗ --> {displaystyle q_{{n_{1}}{n_{2}}}^{o}=q_{{n_{1}}{n_{2}}}^{o*},}
至於譜線 ν ν --> n 1 n 2 {displaystyle u _{{n_{1}}{n_{2}}},} 的幅度及偏振分別由 | q n 1 n 2 | 2 {displaystyle |q_{{n_{1}}{n_{2}}}|^{2},} 及 q n 1 n 2 {displaystyle q_{{n_{1}}{n_{2}}},} 複數的相位去表示。從里茲組合原則及對應原理，可以知道這類“二維”數集的乘法規則是：
( x x ) n 1 n 2 = ∑ ∑ --> j x n 1 j x j n 2 {displaystyle (xx)_{{n_{1}}{n_{2}}}=sum _{j}x_{{n_{1}}{j}}x_{{j}{n_{2}}},}
以使“二維”數集的運算，都不會產生 ν ν --> n 1 n 2 {displaystyle u _{{n_{1}}{n_{2}}},} 以外的新頻率，如
( q q ) n 1 n 2 = ∑ ∑ --> k q n 1 k e 2 π π --> i ν ν --> n 1 k t q k n 2 e 2 π π --> i ν ν --> k n 2 t = ∑ ∑ --> k q n 1 k q k n 2 e 2 π π --> i ( ν ν --> n 1 k + ν ν --> k n 2 ) t = ( ∑ ∑ --> k q n 1 k q k n 2 ) e 2 π π --> i ν ν --> n 1 n 2 t {displaystyle (qq)_{{n_{1}}{n_{2}}}=sum _{k}q_{{n_{1}}{k}}e^{2pi iu _{{n_{1}}{k}}t}q_{{k}{n_{2}}}e^{2pi iu _{{k}{n_{2}}}t}=sum _{k}q_{{n_{1}}{k}}q_{{k}{n_{2}}}e^{2pi i(u _{{n_{1}}{k}}+u _{{k}{n_{2}}})t}=(sum _{k}q_{{n_{1}}{k}}q_{{k}{n_{2}}})e^{2pi iu _{{n_{1}}{n_{2}}}t},}
( q ˙ ˙ --> ) n 1 n 2 = 2 π π --> i ν ν --> n 1 n 2 q n 1 n 2 e 2 π π --> i ν ν --> n 1 n 2 t {displaystyle ({dot {q}})_{{n_{1}}{n_{2}}}=2pi iu _{{n_{1}}{n_{2}}}q_{{n_{1}}{n_{2}}}e^{2pi iu _{{n_{1}}{n_{2}}}t},}
海森堡只憑這些結果，就能得到諧振子的零點能是 1 2 h ν ν --> {displaystyle { rac {1}{2}}hu ,} ，但計算其間要多次運用對應原理，先引入玻爾-索末菲量子條件 J = ∮ p d q = n h {displaystyle J=oint p,dq=nh,} ，利用經典物理去估算量子物理的結果。
接着海森堡將他的結果轉寄給玻恩，玻恩對於這些“二維”數集初時亦大感不解，後來他便意識到這些數集的運算與一個矩陣的運算是一模一樣的，於是玻恩便與海森堡和約爾丹開展矩陣力學的建立。 首先，任何兩個矩陣的乘法是不對易的：
A B − − --> B A ≠ ≠ --> 0 {displaystyle mathbf {AB} -mathbf {BA} eq mathbf {0} ,}
所以一個物理系統的廣義座標矩陣及其共軛動量滿矩陣的乘積是不對易的：
P Q − − --> Q P ≠ ≠ --> 0 {displaystyle mathbf {PQ} -mathbf {QP} eq mathbf {0} ,}
那麼這個乘積會等於什麼呢?其實這個乘積等於什麼可從玻爾-索末菲量子條件 J = ∮ p d q = n h {displaystyle J=oint p,dq=nh,} 加上對應原理預示出來。 對於任何週期系統，作用量有：
J = ∮ p d q = ∮ 0 1 ν ν --> p q ˙ ˙ --> d t {displaystyle J=oint p,dq=oint _{0}^{ rac {1}{u }}p{dot {q}},dt,}
如 p , q {displaystyle p,quad q,} 都使用傅里葉級數表示，就有：
J = ∫ ∫ --> 0 1 ν ν --> ∑ ∑ --> n 1 p n 1 e 2 π π --> i ν ν --> t ∑ ∑ --> n 2 2 π π --> i ν ν --> q n 2 e 2 π π --> i ν ν --> t d t = 2 π π --> i ν ν --> ∑ ∑ --> n , k ∫ ∫ --> 0 1 ν ν --> p n q n − − --> k ( k − − --> n ) e 2 π π --> i ν ν --> t d t = − − --> 2 π π --> i ∑ ∑ --> τ τ --> = − − --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> τ τ --> p τ τ --> q − − --> τ τ --> {displaystyle J=int _{0}^{ rac {1}{u }}sum _{n_{1}}p_{n_{1}}e^{2pi iu t}sum _{n_{2}}2pi iu q_{n_{2}}e^{2pi iu t},dt=2pi iu sum _{n,k}int _{0}^{ rac {1}{u }}p_{n}q_{n-k}(k-n)e^{2pi iu t},dt=-2pi isum _{au =-infty }^{infty }au p_{au }q_{-au },}
所以 1 = ∂ ∂ --> J ∂ ∂ --> J = − − --> 2 π π --> i ∑ ∑ --> τ τ --> = − − --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> τ τ --> ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> J p τ τ --> q − − --> τ τ --> {displaystyle 1={ rac {partial J}{partial J}}=-2pi isum _{au =-infty }^{infty }au { rac {partial }{partial J}}p_{au }q_{-au },} 。
在玻爾-索末菲的理論中，作用量被量子化：
J = n h {displaystyle J=nh,}
況且 Δ Δ --> J = ( Δ Δ --> n ) h = τ τ --> h , τ τ --> ≡ ≡ --> Δ Δ --> n {displaystyle Delta J=(Delta n)h=au h,quad au quiv Delta n,} 。
由對應原理可知，經典理論的任何一個物理量 F {displaystyle F,} 的導數 ∂ ∂ --> F ∂ ∂ --> J {displaystyle { rac {partial F}{partial J}},} ，在量子理論中可用 Δ Δ --> F Δ Δ --> J = Δ Δ --> F τ τ --> h {displaystyle { rac {Delta F}{Delta J}}={ rac {Delta F}{au h}},} ，所以 ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> J p τ τ --> q − − --> τ τ --> {displaystyle { rac {partial }{partial J}}p_{au }q_{-au },} 可用 1 τ τ --> h Δ Δ --> ( p τ τ --> q − − --> τ τ --> ) {displaystyle { rac {1}{au h}}Delta (p_{au }q_{-au }),} 替代，在新的理論中又可用 P , Q {displaystyle mathbf {P} ,mathbf {Q} ,} 表達式替代，即
1 τ τ --> h Δ Δ --> ( p τ τ --> q − − --> τ τ --> ) → → --> 1 τ τ --> h Δ Δ --> ( p n , n − − --> τ τ --> q n − − --> τ τ --> , n ) = − − --> 1 τ τ --> h ( p n , n − − --> τ τ --> q n − − --> τ τ --> , n − − --> q n , n + τ τ --> p n + τ τ --> , n ) {displaystyle { rac {1}{au h}}Delta (p_{au }q_{-au })ightarrow { rac {1}{au h}}Delta (p_{n,n-au }q_{n-au ,n})=-{ rac {1}{au h}}(p_{n,n-au }q_{n-au ,n}-q_{n,n+au }p_{n+au ,n}),}
將此代入上述的 1 = ∂ ∂ --> J ∂ ∂ --> J = − − --> 2 π π --> i ∑ ∑ --> τ τ --> = − − --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> τ τ --> ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> J p τ τ --> q − − --> τ τ --> {displaystyle 1={ rac {partial J}{partial J}}=-2pi isum _{au =-infty }^{infty }au { rac {partial }{partial J}}p_{au }q_{-au },} ，他們就得到關係式：
1 = 2 π π --> i h ∑ ∑ --> τ τ --> ( p n , n − − --> τ τ --> q n − − --> τ τ --> , n − − --> q n , n + τ τ --> p n + τ τ --> , n ) {displaystyle 1={ rac {2pi i}{h}}sum _{au }(p_{n,n-au }q_{n-au ,n}-q_{n,n+au }p_{n+au ,n}),}
這可用矩陣重新寫成：
( p q − − --> q p ) n n = h 2 π π --> i = ℏ ℏ --> i {displaystyle (pq-qp)_{nn}={ rac {h}{2pi i}}={ rac {hbar }{i}},}
他們便作以下的假定：一個物理系統的廣義座標矩陣及其共軛動量滿矩陣足以下的 對易關係 ：
I {displaystyle mathbf {I} ,} 爲單位矩陣。
注意，千萬不要以爲對易關係能用玻爾-索末菲量子條件“推導”出來，更不要以爲它可從經典物理推導出來，總之，對易關係是一個全新的假定，只有實驗才能確認它的真實性。
海森堡運動方程及量子泊松括號
根據上文的對易關係，如果有一個矩陣函數(哈密頓函數) H = H ( Q , P ) {displaystyle mathbf {H} =mathbf {H} (mathbf {Q} ,mathbf {P} ),} ，我們有以下的關係：
