圓周率是表示圓的周長與直徑比值的數學常數，用希臘字母π表示。
簡介
π也等於圓形之面積與半徑平方之比，是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。在分析學裏，π可以嚴格地定義爲滿足sinx=0的最小正實數x。
圓周率用希臘字母π(讀作pài)表示，是一個常數(約等於3.141592653)，是代表圓周長和直徑的比值。它是一個無理數，即無限不循環小數。在日常生活中，通常都用3.14代表圓周率去進行近似計算。而用十位小數3.141592653便足以應付一般計算。即使是工程師或物理學家要進行較精密的計算，充其量也只需取值至小數點後幾百個位。
1965年，英國數學家約翰·沃利斯(John Wallis)出版了一本數學專著，其中他推導出一個公式，發現圓周率等於無窮個分數相乘的積。2015年，羅切斯特大學的科學家們在氫原子能級的量子力學計算中發現了圓周率相同的公式。
2019年3月14日，谷歌宣佈圓周率現已到小數點後31.4萬億位。
歷史發展
實驗時期
一塊古巴比倫石匾(約產於公元前1900年至公元前1600年)清楚地記載了圓周率=25/8=3.125。同一時期的古埃及文物，萊因德數學紙草書(Rhind Mathematical Papyrus)也表明圓周率等於分數16/9的平方，約等於3.1605。埃及人似乎在更早的時候就知道圓周率了。英國作家John Taylor(1781—1864)在其名著《金字塔》(《The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》)中指出，造於公元前2500年左右的胡夫金字塔和圓周率有關。例如，金字塔的周長和高度之比等於圓周率的兩倍，正好等於圓的周長和半徑之比。公元前800至600年成文的古印度宗教鉅著《百道梵書》(Satapatha Brahmana)顯示了圓周率等於分數339/108，約等於3.139。
幾何法時期
古希臘作爲古代幾何王國對圓周率的貢獻尤爲突出。古希臘大數學家阿基米德(公元前287年—公元前212年)開創了人類歷史上通過理論計算圓周率近似值的先河。阿基米德從單位圓出發，先用內接正六邊形求出圓周率的下界爲3，再用外接正六邊形並藉助勾股定理求出圓周率的上界小於4。接着，他對內接正六邊形和外接正六邊形的邊數分別加倍，將它們分別變成內接正12邊形和外接正12邊形，再借助勾股定理改進圓周率的下界和上界。他逐步對內接正多邊形和外接正多邊形的邊數加倍，直到內接正96邊形和外接正96邊形爲止。最後，他求出圓周率的下界和上界分別爲223/71和22/7，並取它們的平均值3.141851爲圓周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和兩側數值逼近的概念，稱得上是“計算數學”的鼻祖。
中國古算書《周髀算經》(約公元前2世紀)的中有“徑一而週三”的記載，意即取Π=3。
公元263年，中國數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，他先從圓內接正六邊形，逐次分割一直算到圓內接正192邊形。他說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。”這包含了求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值，劉徽在得圓周率=3.14之後，將這個數值和晉武庫中漢王莽時代製造的銅製體積度量衡標準嘉量斛的直徑和容積檢驗，發現3.14這個數值還是偏小。於是繼續割圓到1536邊形，求出3072邊形的面積，得到令自己滿意的圓周率3.1416.
公元480年左右，南北朝時期的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點後7位的結果，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數值，密率355/113和約率22/7。密率是個很好的分數近似值，要取到52163/16604才能得出比355/113略準確的近似。
在之後的800年裏祖沖之計算出的π值都是最準確的。其中的密率在西方直到1573年才由德國人奧托(Valentinus Otho)得到，1625年發表於荷蘭工程師安託尼斯(Metius)的著作中，歐洲稱之爲Metius' number。
約在公元530年，印度數學大師阿耶波多算出圓周率約爲根號9.8684。婆羅摩笈多采用另一套方法，推論出圓周率等於10的算術平方根。
阿拉伯數學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數值，打破祖沖之保持近千年的紀錄。德國數學家魯道夫·範·科伊倫(Ludolph van Ceulen)於1596年將π值算到20位小數值，後投入畢生精力，於1610年算到小數後35位數，該數值被用他的名字稱爲魯道夫數。
分析法時期
這一時期人們開始利用無窮級數或無窮連乘積求π，擺脫可割圓術的繁複計算。無窮乘積式、無窮連分數、無窮級數等各種π值表達式紛紛出現，使得π值計算精度迅速增加。
第一個快速算法由英國數學家梅欽(John Machin)提出，1706年梅欽計算π值突破100位小數大關，他利用瞭如下公式：Π/4=4arctan1/5-arctan1/239
其中arctanx可由泰勒級數算出。類似方法稱爲“梅欽類公式”。
斯洛文尼亞數學家Jurij Vega於1789年得出π的小數點後首140位，其中只有137位是正確的。這個世界紀錄維持了50年。他利用了梅欽於1706年提出的數式。
到1948年英國的弗格森(D. F. Ferguson)和美國的倫奇共同發表了π的808位小數值，成爲人工計算圓周率值的最高紀錄。
計算機時代
電子計算機的出現使π值計算有了突飛猛進的發展。1949年，美國製造的世上首部電腦——ENIAC(ElectronicNumerical Integrator And Computer)在阿伯丁試驗場啓用了。次年，裏特韋斯納、馮紐曼和梅卓普利斯利用這部電腦，計算出π的2037個小數位。這部電腦只用了70小時就完成了這項工作，扣除插入打孔卡所花的時間，等於平均兩分鐘算出一位數。五年後，IBM NORC(海軍兵器研究計算機)只用了13分鐘，就算出π的3089個小數位。科技不斷進步，電腦的運算速度也越來越快，在20世紀60年代至70年代，隨着美、英、法的電腦科學家不斷地進行電腦上的競爭，π的值也越來越精確。在1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以電腦CDC 7600發現了π的第一百萬個小數位。
在1976年，新的突破出現了。薩拉明(Eugene Salamin)發表了一條新的公式，那是一條二次收斂算則，也就是說每經過一次計算，有效數字就會倍增。高斯以前也發現了一條類似的公式，但十分複雜，在那沒有電腦的時代是不可行的。這算法被稱爲布倫特-薩拉明(或薩拉明-布倫特)演算法，亦稱高斯-勒讓德演算法。
1989年美國哥倫比亞大學研究人員用克雷-2型(Cray-2)和IBM-3090/VF型巨型電子計算機計算出π值小數點後4.8億位數，後又繼續算到小數點後10.1億位數。2010年1月7日——法國工程師法布里斯·貝拉將圓周率算到小數點後27000億位。2010年8月30日——日本計算機奇才近藤茂利用家用計算機和雲計算相結合，計算出圓周率到小數點後5萬億位。
2011年10月16日，日本長野縣飯田市公司職員近藤茂利用家中電腦將圓周率計算到小數點後10萬億位，刷新了2010年8月由他自己創下的5萬億位吉尼斯世界紀錄。56歲的近藤茂使用的是自己組裝的計算機，從10月起開始計算，花費約一年時間刷新了紀錄。
用梅欽公式編程計算圓周率(C++)
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用級數編程計算圓周率(C++)
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特性和相關公式
代數
π是個無理數，即不可表達成兩個整數之比，是由朗伯於1761年證明的。1882年，林德曼更證明了π是超越數，即不可能是任何有理數多項式的根。
圓周率的超越性否定了化圓爲方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數，而超越數不是代數數。
數學分析
π有個特別的連分數表示式：
π本身的連分數表示式(簡寫)爲[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數，第一個和第三個漸近分數即爲約率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。
歐拉恆等式
任何複數(Complex Number)(以z爲例)都可以表示爲一組實數(Real Number)對：在極座標系(Polar Coordinate System)中，一個實數r——半徑(Radius)代表複平面(Complex Plane)上覆數z離原點(Origin)的距離，另一個實數φ——夾角表示這條半徑(複平面上覆數z與原點的連線)與正實軸經順時針轉動的夾角。
在複分析(Complex Analysis)中，歐拉公式(Euler's Formula)聯繫着三角函數(Trigonometric Function)與復指數函數(Exponential Function)。
歐拉公式確立了e的復指數與複平面上以原點爲圓心的單位圓(Unit Circle)上的點之間的關係，而且當我們令 φ=π時，歐拉公式就能改寫爲歐拉恆等式(Euler's Identity)的形式：
方程z=1共有n不同的複數根，這些根被稱爲“n次單位根(Root of Unity)”。
蒙特卡羅方法
蒙特卡羅方法(Monte Carlo Methods)是以概率統計理論爲指導的一類非常重要的數值計算方法，通過進行大量重複試驗計算事件發生的頻率，利用當試驗次數充分大時頻率充分地接近於概率可以求得π的近似值。布豐投針問題(Buffon's Needle)就是其中一個應用的例子：當一枚長度爲ℓ的針隨機地往一個畫滿間距爲t(ℓ≤t)的平行線的平面上拋擲n次，如果針與平行直線相交了m次，那麼當n充分大時就可根據以下公式算出π的近似值。
另一個利用蒙特卡羅方法計算π值的例子是隨機地往內切四分之一圓的正方形內拋擲大量的點，落在四分之一圓內的點的數量與拋擲點的總量的比值會近似等於π/4。
高精度π的應用
一般工程或天文運算不需要成千上萬位精確度的π，因爲四十位精確度的π在計算銀河系大小的圓周時，其誤差已經小於一個質子。現今精度高π應用於計算機軟硬件的測試，以不同的算法計算π而結果誤差大代表計算機系統可能出問題。
採用π爲符號
現時所知，最早使用希臘字母π代表圓周率，是威爾士數學家威廉·瓊斯的1706年著作《Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics》。書中首次出現希臘字母π，是討論半徑爲1的圓時，在短語“1/2Periphery(π)”之中。他選用π，或許由於π是periphery(周邊)的希臘語對應單詞 περιφέρεια的首字母。
然而，其他數學家未立刻跟從，有時數學家會用c，p等字母代表圓周率。將π的這個用法推廣出去的，是數學家歐拉。他在1736年的著作《Mechanica》開始使用π。因爲歐拉與歐洲其他數學家通信頻繁，這樣就把π的用法迅速傳播。1748年，歐拉在廣受閱讀的名著《無窮小分析引論》(Introductio in analysin infinitorum)使用π。他寫道：“爲簡便故，我們將這數記爲π，因此π=半徑爲1的圓的半周長，換言之π是180度弧的長度。”於是π就在西方世界得到普遍接受。
背誦
世界記錄是100,000位，由日本人原口證於2006年10月3日背誦。
普通話用諧音記憶的有“山巔一寺一壺酒，爾樂苦煞吾，把酒吃，酒殺爾，殺不死，樂而樂”，就是3.1415926535897932384626。另一諧音爲：“山巔一石一壺酒，二妞舞扇舞，把酒沏酒搧又搧，飽死囉”，就是3.14159265358979323846。
在英文，會使用英文字母的長度作爲數字，例如“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of the geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.”就是3.1415926535897932384626433832795。
數學外的用途
在Google公司2005年的一次公開募股中，集資額不是通常的整頭數，而是$14,159,265，這當然是由π小數點後的位數得來。(順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額爲$2,718,281,828，與數學常數 e有關)
排版軟件TeX從第三版之後的版本號爲逐次增加一位小數，使之越來越接近π的值：3.1，3.14，……當前的最新版本號是3.14159265
3月14日爲美國所訂的圓周率日。
